Hình thang cân là gì?

Hình thang cân là một kiến thức của chương trình Toán lớp 8. Vậy Hình thang cân là gì? Tính chất hình thang cân? Khách hàng quan tâm vui lòng theo dõi bài viết để có thêm thông tin hữu ích.

Hình thang cân là gì?

Hình thang cân là tứ giác có hai cạnh song song (hình thang) và có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.

Ví dụ: ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) <=> AB // CD và góc C = góc D

Tính chất hình thang cân

Định lí 1: Trong Hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

Tứ giác  ABCD (AB // DC) Hình thang cân ta có :

hai cạnh bên :AD = BC.

Định lí 2: Trong Hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

Tứ giác  ABCD (AB // DC) Hình thang cân ta có :

hai đường chéo : AC = BD.

– Định lý 3: Trong Hình thang cân, Hai góc kề cạnh đáy bằng nhau

Ví dụ: ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) => AC = BD

Lưu ý: Hình thang cân nội tiếp đường tròn, có nghĩa là bốn điểm của hình thang cân đều thuộc một hình tròn.

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

– Hình thang có hai góc kề một đáy là hình thang cân.

– Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Lưu ý: Hình thang cân thì có hai cạnh bên bằng nhau nhưng hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc đã là hình thang cân.

Diện tích hình thang cân

Để tính diện tích hình thang cân ta áp dụng công thức tính diện tích hình thang như thông thường.

Diện tích hình thang bằng chiều cao nhân với trung bình cộng của hai đáy.

Chu vi hình thang cân

Giả sử hình thang ABCD (AB//CD) cân có độ dài hai cạnh đáy là a, b và độ dài cạnh bên là c.

Khi đó, chu vi hình thang ABCD là: P = a + b + 2c

Ví dụ bài tập tính chu vi hình thang cân: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD = AE.

a) Chứng minh BDEC là hình thang cân

b) Tính các góc của hình thang cân đó, biết Hình thang cân là gì ? Định nghĩa, Tính chất về Hình thang cân chi tiết

Lời giải

a) Ta có: tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, mà AD = AE (giả thiết) => DB = EC

=> BDEC là hình thang cân

b) Tam giác ABC cân tại A nên góc B = góc C

Mà góc A + B + C = 180 độ => góc B = góc C = (180 độ – 50 độ) / 2 = 65 độ

Vì BDEC là hình thang cân nên góc BDE = góc DEC

Mà góc B + C + BDE = DEC = 360 độ

=> Góc BDE = DEC = (360 – 2 x 65) / 2 = 115 độ

Cách chứng minh hình thang cân

Chứng minh một hình thang là hình thang cân

Chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau thì suy ra hình thang đó là hình thang cân.

Chứng minh hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì suy ra hình thang đó là hình thang cân.

VD1: Hình thang ABCD (AB // CD) có góc ACD = góc BDC. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Lời giải:

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Do góc ACD = góc BCD nên tam giác ECD có góc C1 = góc D1, nên là tam giác cân. Từ đó suy ra EC = ED. (1)

Tương tự do góc ACD = góc BCD và AB // CD nên tam giác EAB cân tại E, suy ra EA = EB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EA + EC = EB + ED => AC = BD

Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên hình thang ABCD là hình thang cân (điều phải chứng minh).

VD2: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng mình EA = EB, EC = ED.

Do ABCD là hình thang cân (giả thiết) nên AD = BC, AC = BD (tính chất hình thang cân)

Xét tam giác ADC và tam giác BCD có:

AD = BC (chứng minh trên)

AC = BD (chứng mình trên)

DC chung

=> tam giác ADC = tam giác BCD (cạnh – cạnh – cạnh)

Suy ra góc ACD = góc BDC (2 góc tương ứng)

Do đó tam giác EDC cân tại E (dấu hiệu nhận biết tam giác cân) => EC = ED (tính chất tam giac cân)

Lại có: AC = BD (chứng minh trên), EC = ED (chứng minh trên)

=> AC – CE = BD – ED => EA = EB

Vậy EA = EB và EC = ED (điều phải chứng minh).

VD 3: Cho tam giác cân ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D thuộc AC, E thuộc AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Lời giải:

Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC và góc ABC = góc ACB (tính chất tam giác cân)

Vì BD, CE lần lượt là phân giác của góc ABC và góc ACB (giả thiết) nên theo tính chất tia  phân giác:

Góc B1 = góc B2 = 1/2 của góc ABC

Góc C1 = góc C2 = 1/2 của góc ACB

Mà góc ABC = góc ACB (chứng minh trên) => góc B1 = góc B2 = góc C1 = góc C2

Xét tam giác ABD và tam giác ACE có: (1) AB = AC, (2) Góc A chung, (3) Góc B1 = góc C1 (chứng minh trên) => tam giác ABD = tam giác ACE (góc – cạnh – góc)

=> AD = AE (2 cạnh tương ứng)

Ta có: AD = AE (chứng minh trên) nên tam giác ADE cân tại A (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) => góc AED = góc ADE (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác ADE có: góc AED + góc ADE + góc A = 180 độ (định lý tổng ba góc trong một tam giác) => AED = (180 độ – góc A) / 2 (1)

Xét tam giác ABC có: góc A + góc ABC + góc ACB = 180 độ (định lý tổng ba góc trong một tam giác) => ABC = (180 độ – góc A) / 2 (2)

Từ (1) và (2) => góc AED = góc ABC, mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra DE // BC.

Do đó BEDC là hình thang.

Lại có góc ABC = góc ACB (chứng minh trên)

=> BEDC là hình thang cân.

Ta có: DE // BC => góc D1 = góc B2 (hai góc so le trong)

Lại có góc B2 = góc B2 (chứng minh trên) nên góc B1  = góc D1

=> Tam giác EBD cân tại E

=> EB = ED

Vậy BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Trên đây là chia sẻ của chúng tôi về giải đáp thắc mắc liên quan đến Hình thang cân là gì? Khách hàng quan tâm, có vướng mắc khác vui lòng phản ánh trực tiếp để chúng tôi hỗ trợ nhanh chóng.